UC知道e^x-ex/x-1 当x>1 时，如何求证e^x>ex
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/12 18:15:07
同志们 给点过程 谢谢哈
则f'(x)=e^x-e
令f'(x)>0,得到x>1
这一步有问题``怎么可以无根据的令呢`
最好用拉格日朗定理做``
则f'(x)=e^x-e
令f'(x)>0,得到x>1
这一步有问题``怎么可以无根据的令呢`
最好用拉格日朗定理做``
构造f(x)=e^x-ex
则f'(x)=e^x-e
令f'(x)>0,得到x>1
所以当x>1时f(x)为增函数
所以当x>1时f(x)>f(1)=0
从而e^x>ex
令f'(x)>0于解出的x的范围二者是等价的(充要条件),这也是判定函数单调区间的一般做法,所以你说"无根据的令f'(x)>0"是不妥的.对于一般的题,如题目没有强调一定要用拉格朗日中值定理,那就最好不要用那种方法,因为不好用.下面就用拉格朗日中值定理加以证明
记f(t)=e^t,则f'(t)=e^t
当1<t<x时,e<f'(t)<e^x
所以e<[f(x)-f(1)]/(x-1)<e^x
化简得到:ex<e^x<(xe^x+e)/2
所以有e^x>ex